Mạch AC tưởng tượng không thực sự phức tạp

Nếu bạn đã từng đọc sách giáo khoa hoặc giấy tờ nâng cao về điện tử, bạn có thể đã rất ngạc nhiên khi thấy việc sử dụng các số phức được sử dụng trong phân tích mạch AC. Một số phức có hai phần: một phần thực và một phần tưởng tượng. Tôi thường nghĩ rằng rất nhiều sách và lớp học chỉ là loại bóng về những gì điều này thực sự có nghĩa. Phần nào của năng lượng điện là tưởng tượng? Tại sao chúng ta làm việc này?

Câu trả lời ngắn là Góc pha: Độ trễ thời gian giữa điện áp và dòng điện trong mạch. Làm thế nào một góc có thể là một thời gian? Đó là một phần của những gì tôi sẽ cần để giải thích.

Đầu tiên, hãy xem xét một điện trở. Nếu bạn áp dụng điện áp cho nó, một dòng điện nhất định sẽ chảy mà bạn có thể xác định theo luật của Ohm. Nếu bạn biết điện áp ngay trên điện trở, bạn có thể lấy được dòng điện và bạn có thể tìm thấy sức mạnh mà năng lượng điện sẽ làm bao nhiêu. Điều đó tốt cho dòng điện DC thông qua điện trở. Nhưng các thành phần như tụ điện và cuộn cảm với dòng điện xoay chiều không tuân theo luật của Ohm. Lấy một tụ điện. Hiện tại chỉ chảy khi tụ điện đang sạc hoặc xả, do đó, dòng điện thông qua nó liên quan đến tốc độ thay đổi điện áp, không phải mức điện áp ngay lập tức.

Điều đó ngụ ý rằng nếu bạn vẽ điện áp sóng hình sin chống lại dòng điện, đỉnh của điện áp sẽ là nơi hiện tại là tối thiểu và dòng điện trên cùng sẽ là nơi điện áp không ở mức không. Bạn có thể thấy rằng trong hình ảnh này, nơi sóng vàng là điện áp (V) và sóng xanh là hiện tại (i). Xem Làm thế nào đỉnh màu xanh lá cây là nơi đường cong màu vàng vượt qua 0? Và đỉnh màu vàng là nơi đường cong màu xanh lá cây vượt qua không?

Những sóng hình sin và cosine được liên kết này có thể nhắc nhở bạn về một cái gì đó – tọa độ X và Y của một điểm bị quét xung quanh một vòng tròn với tốc độ không đổi và đó là kết nối của chúng tôi với các số phức. Đến cuối bài viết, bạn sẽ thấy nó không phải là tất cả những gì phức tạp và số lượng “tưởng tượng” không tưởng tượng gì cả.

Đơn giản hoá các giả định

Bắt đầu với tín hiệu âm thanh của ai đó đang nói và cung cấp nó vào mạch của bạn. Nó đang tràn ngập các tần số khác nhau thay đổi liên tục. Nếu bạn có một mạch chỉ có điện trở trong đó, bạn có thể chọn một thời gian, tìm tất cả các thành phần tần số hiện tại hoặc biên độ ngay lập tức, lấy được dòng điện ngay lập tức và bạn có thể sử dụng các kỹ thuật thông thường trên đó. Bạn chỉ cần làm điều đó nhiều lần một lần nữa. Nếu mạch liên quan đến cuộn cảm hoặc tụ điện, có hành vi phụ thuộc vào nhiều hơn chỉ là điện áp trên chúng, điều này trở nên rất khó khăn rất nhanh.

Thay vào đó, sẽ đơn giản hơn để bắt đầu với sóng hình sin ở một tần số duy nhất và giả định rằng tín hiệu phức tạp của nhiều tần số khác nhau chỉ là tổng của nhiều sin duy nhất. Một cách để nghĩ về một tụ điện là coi đó là một điện trở có điện trở cao hơn ở tần số thấp hơn. Một cuộn cảm hoạt động như một điện trở lớn hơn ở tần số cao hơn. Bởi vì chúng tôi chỉ đang xem xét một tần số duy nhất, chúng tôi có thể chuyển đổi bất kỳ giá trị điện dung và điện cảm nào thành trở kháng: một điện trở chỉ tốt ở tần số quan tâm. Điều gì nhiều hơn là chúng ta có thể đại diện trở kháng như một số phức để chúng ta có thể theo dõi góc pha của mạch, liên quan trực tiếp đến độ trễ thời gian cụ thể giữa điện áp và dòng điện.

Đối với một điện trở thực sự, phần tưởng tượng là 0. có ý nghĩa vì điện áp và dòng điện trong giai đoạn và vì lý do đó thì không có thời gian trễ nào. Đối với một tụ điện hoặc cuộn cảm thuần túy, phần thực là không. Mạch thực sẽ có sự kết hợp và do đó sẽ có sự kết hợp của các phần thực và tưởng tượng. Các số như thế là số phức và bạn có thể viết chúng theo nhiều cách khác nhau.

Đánh giá phức tạp.

Điều đầu tiên cần nhớ là từ tưởng tượng chỉ là một thuật ngữ tùy ý. Có lẽ tốt hơn là quên những ngụ ý bình thường của từ tưởng tượng. Những số lượng tưởng tượng này không phải là một loại điện ma thuật hoặc kháng cự. Chúng tôi sử dụng số ảo để đại diện cho sự chậm trễ thời gian trong các mạch. Đó là tất cả.

Có một câu chuyện dài về những con số tưởng tượng ngụ ý trong toán học thuần túy và tại sao chúng được gọi là tưởng tượng. Bạn có thể nhìn vào nó nếu bạn là một người học toán, nhưng bạn nên biết rằng những cuốn sách toán học sử dụng biểu tượng I cho phần tưởng tượng của một số phức. Tuy nhiên, vì các kỹ sư điện sử dụng i cho hiện tại, chúng tôi sử dụng j thay thế. Bạn chỉ cần nhớ khi đọc sách toán học, bạn sẽ thấy tôi và nó không phải là một dòng điện, và nó giống như j trong sách điện.

Có một số cách để đại diện cho một số phức. Cách đơn giản nhất là viết phần thực sự và phần tưởng tượng như được thêm vào cùng với j. Vì vậy, hãy xem xét điều này:

5 + 3J.

Chúng tôi nói phần thực là 5 và phần tưởng tượng là 3. các số được viết trong biểu mẫu này là ở định dạng hình chữ nhật. Bạn có thể vẽ nó trên các dòng số như thế này:

Điều đó dẫn đến cách thứ hai để viết một số phức: Ký hiệu Polar. Nếu điểm trên biểu đồ là 5 + 3J, bạn có thể lưu ý rằng một vectơ có thể đại diện cho SAtôi điểm. Nó sẽ có chiều dài hoặc độ lớn và một góc (góc mà nó tạo ra với trục x của biểu đồ). Trong trường hợp này, cường độ là 5,83 (về) và góc chỉ là một chút dưới 31 độ.

Điều này thật thú vị vì nó là một vectơ và có rất nhiều công cụ toán học tốt để thao túng vectơ. Nó sẽ trở nên thực sự cần thiết trong một phút vì góc có thể tương ứng với một góc pha trong một mạch và độ lớn cũng có mối quan hệ vật lý trực tiếp.

Góc pha

Hãy nhớ rằng tôi đã nói chúng tôi thực hiện một phân tích AC ở một tần số duy nhất? Nếu bạn vẽ điện áp xoay chiều và dòng điện đi qua một điện trở ở một số tần số, hai sóng hình sin sẽ sắp xếp chính xác. Đó là bởi vì một điện trở không có thời gian trì hoãn bất cứ điều gì. Chúng tôi sẽ nói góc pha trên điện trở bằng không.

Tuy nhiên, đối với một tụ điện, dòng điện sẽ xuất hiện để tăng lên trước điện áp theo một khoảng thời gian. Điều này có ý nghĩa nếu bạn nghĩ về trực giác của bạn về các tụ điện tại DC. Khi một tụ điện được thải ra, nó không có điện áp trên đó, nhưng nó sẽ tiêu tốn rất nhiều dòng điện – nó tạm thời trông như một mạch ngắn. Vì phí tích hợp, điện áp tăng nhưng các giọt hiện tại, cho đến khi tụ điện được sạc đầy. Tại thời điểm đó, điện áp tối đa, nhưng dòng điện là 0 hoặc gần như vậy.

Cuộn cảm có sự sắp xếp ngược lại: điện áp dẫn dắt dòng điện, vì vậy các đường cong sẽ trông giống nhau nhưng đường V hiện là I và I Curve bây giờ là V. Bạn có thể nhớ rằng với ELI eli eli dễ dàng, nơi e Điện áp giống như trong luật của OHM. Khi bạn nói về sự thay đổi pha trong một mạch, bạn thực sự ngụ ý bao nhiêu đường dẫn hiện tại hoặc lag điện áp ở tần số nhất định. Đó là một ý tưởng cần thiết: dịch chuyển pha hoặc góc là lượng thời gian dẫn đường dẫn hiện tại hoặc lụt điện áp. Bạn cũng có thể đo pha giữa những thứ khác như hai nguồn điện áp khác nhau, nhưng thông thường khi bạn nói “Mạch này có pha một pha 22 độ” bạn ngụ ý điện áp so với sự chậm trễ thời gian hiện tại.

Hãy nhớ rằng một sóng hình sin giống như một vòng tròn uốn cong để phù hợp với một dòng. Vì vậy, nếu sự khởi đầu của sóng hình sin ở 0 độ, đỉnh của đỉnh dương là 90 độ. Crossing 0 thứ hai là 180 độ và đỉnh âm là 270 độ, giống như các điểm trên một vòng tròn. Bởi vì sóng hình sin nằm ở tần số cố định, đặt một thứ gì đó ở một mức độ cụ thể là giống như thể hiện một thời gian.

Trong trường hợp điện trở, ca là 0 độ. Vì vậy, trong ký hiệu phức tạp, một điện trở 100 Ohm là 100 + 0J. Nó cũng có thể là 100∠0. Đối với một tụ điện, dòng chảy hiện tại tăng lên trước điện áp 90 độ để một tụ điện có sự thay đổi pha là -90. Nhưng độ lớn là gì?

Bạn có thể đã học được rằng độ phản ứng điện dung bằng 1 / (2πfc) trong đó F là tần số trong Hz. Đó là độ lớn của hình dạng cực. Tất nhiên, vì -90 độ là thẳng xuống dòng số, nó cũng là phần tưởng tượng của dạng hình chữ nhật (và phần thực là không). Nếu phản ứng điện dung (XC) bằng 50, ví dụ, sau đó bạn có thể viết 0-50J hoặc 50∠-90. Cuộn cảm hoạt động giống nhau nhưng độ phản ứng (XL) là 2πFL và góc pha là 90 độ. Vì vậy, một cuộn cảm có độ phản ứng tương tự sẽ là 0 + 50J hoặc 50∠90.

Tìm sức mạnh

Hãy xem xét một ví dụ nhanh về những góc pha này là tốt cho: Tính năng tính. Bạn biết rằng sức mạnh là thời gian điện áp hiện tại. Vì vậy, nếu một tụ điện có 1 v trên nó (đỉnh) và vẽ 1 a qua nó (đỉnh), là công suất 1 watt? Không, bởi vì nó không vẽ 1 V ở mức 1 A cùng một lúc.

Hãy xem xét mô phỏng này (xem hình bên phải). Bạn có thể thấy các dấu vết ở bên trái cho thấy sự thay đổi pha 90 độ rất rõ ràng (dấu vết màu xanh lá cây là điện áp và màu vàng là hiện tại). Điện áp trên cao nhất là 1,85 V và các đỉnh hiện tại ở khoảng 4,65 mA. Sản phẩm của thời gian điện áp dòng điện là 8,6 MW. Nhưng đó không phải là câu trả lời tốt nhất. Sức mạnh thực sự là 4.29 MW (xem biểu đồ bên phải). Trong một tụ điện lý tưởng, sức mạnh không được tiêu thụ. Nó được lưu trữ và phát hành, đó là lý do tại sao sức mạnh bị tiêu cực. Tụ điện thực, tất nhiên, thể hiện một số mất mát.

Lưu ý rằng nguồn điện không cung cấp 4,29 MW, nhưng ít hơn nhiều. Đó là bởi vì điện trở là thứ duy nhất tiêu tốn sức mạnh. Điện áp và dòng điện nằm trong pha cho nó và một số công suất mà nó tiêu tan đến từ phí lưu trữ của tụ điện.

Chu trình

Độ lớn của vectơ có thể sử dụng được trong luật của OHM. Ví dụ: ở mức 40 Hz, XC của mạch ví dụ chỉ dưới 400 ohms. Vì vậy, toàn bộ trở kháng phức tạp cho mạch RC là 1000 – 400J.

Nếu bạn là Adept với các vectơ, bạn có thể làm Polar bằng cách viết 1000∠0 + 400∠-90. Tuy nhiên, nó thường đơn giản hơn để viết phiên bản hình chữ nhật và chuyển đổi thành cực (Wolfram Alpha giỏi về điều đó; chỉ cần nhớ sử dụng I thay vì J). Độ lớn chỉ là định lý Pythagore và góc rất dễ trig. Tôi sẽ không đi vào nó, nhưng đây là công thức nơi R và J là những phần thực sự và tưởng tượng.

mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
Giai đoạn = arctan (J / R)

Ví dụ của chúng tôi, sau đó, là 1077∠-21.8.

Vì vậy, sức mạnh ra khỏi nguồn điện áp là gì? Sức mạnh là e ^ 2 / r (hoặc, thực tế, e ^ 2 / z trong trường hợp này). Vì vậy, 25/1077 = 23 MW Đỉnh. Các mô phỏng hiển thị 22,29 và bởi vì tôi làm tròn một vài giá trị, đó là đủ gần.

Đó là nó?

Đó không phải là nó, tất nhiên, nhưng tất cả những gì bạn cần biết với rất nhiều mục đích. Nhiều văn bản điện tử cấp độ sở thích về chi tiết và chỉ làm việc với cường độ. Đối với các mạch dễ dàng, điều này có thể hoạt động, nhưng đối với một cái gì đó phức tạp (không có ý định chơi chữ), nó bị lông nhanh.

Nhân tiện, ví dụ này cho thấy các yếu tố trong loạt. Tuy nhiên, bạn có thể thêm các phản ứng song song giống như bạn làm các điện trở song song.

Các khái niệm cần thiết bạn cần nhớ là:

Việc phân tích mạch AC chủ yếu xảy ra ở một tần số duy nhất với đầu vào sóng hình sin.

Số ảo không tưởng tượng.

Độ lớn của các số phức ở các dạng cực có thể được đối xử như một kháng cự.

Góc pha là độ trễ thời gian giữa điện áp và dạng sóng hiện tại.

Có rất nhiều chi tiết tôi đã đánh bóng. Bạn có thể không cần biết làm thế nào tôi thực sự là căn bậc hai của tiêu cực. Hoặc số lượng của Euler phát vào vấn đề này và sự đơn giản của việc tích hợp và phân biệt sóng hình sin được viết bằng biên độ và một góc pha. Nếu bạn quan tâm đến lịch sử toán học, số ảo có khá nhiều câu chuyện đằng sau họ. Nếu bạn muốn một cái gì đó thực tế hơn nhiều, Học viện Khan có một số video hữu ích. Tuy nhiên, những gì được bao phủ ở đây để là tất cả những gì bạn cần biết để làm việc với các mạch AC.